一個人做事的方法，往往在於其從所在環境當中多年以來形成的觀念。而一個人所要改變的，首先也他的觀念，就像那句俗話所說的：觀念不變，你只能原地打轉，觀念一變天地寬。
有一個女工，她是個很勤勞的女人，也非常節儉，家裡有三隻水瓶。只要哪個水瓶沒有水了，總是及時去燒水，把空著的那個水瓶注滿。她的家中從來沒有斷過開水，可是一家人一年四季都在喝涼水。這是為什麼？
原來，家人每次倒水的時候，女工總是會提醒：“先喝之前燒的，這是自家用電燒的水，涼了倒掉也不可惜，在家不象在單位，在單位燒水不花自己的錢。”家人聽了以後，順從地喝了涼水。
於是，女工家天天燒開水，天天喝涼水。
在她的觀念裡，所謂的節儉，就是不浪費用煤氣燒過的水，即便是涼了，也要喝掉，不喝掉就浪費了。正是她的這種觀念，才導致家人每天喝涼水，而因此會生病。花了同樣的煤氣，費了時間，卻沒有達到喝熱水的效果。
相反地，有一個賣豆子的人，每當豆子賣不完的時候，他拿回家用水浸泡，磨成豆漿再去賣給需要的人。如果豆漿賣不完，他又加工成豆腐再賣。如果豆腐賣不完，他又曬乾作為豆腐乾再賣。豆腐乾賣不完，他再醃製起來再去賣豆腐乳。
無論怎麼樣，他永遠都不用擔心自己的豆子會賣不完。所以，他整天樂哈哈的。
有個人問禪師：“人應該如何過自己的一生？”
禪師說：“人有兩種：有一種人不知道如何過自己的一生。”
那個人又問：“另一種人正確地踩在自己的人生道上嗎？”
禪師說：“不！另一種人誤以為人有很多輩子，可一再犯錯，下輩子重新再來過。”
知識容易獲得，但觀念是很難改變的。你觀念不能改變，你的行為就不能改變。都住在同一片藍天下，腳踩著同一片土地，一樣的政策，甚至一樣的學歷，一樣的班級，為什麼有些人可以月賺萬元乃至數十萬元，有些人卻只能保持溫飽？許多人百思不得其解，總是認為自己運氣不佳。其實成功來源於頭腦。
知識要點
一．弧長和扇形面積的相關計算
二．圓錐的相關計算
三．與圓有關的陰影部分面積的相關計算
1．直接法：規則圖形的面積直接利用對應公式計算．
2．轉化法：利用轉化思想把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積後再利用相應公式進行計算．
（1）直接和差法
（2）間接和差法
（3）割補法（等積轉換）
【方法點撥】正多邊形的有關計算常用方法是直接利用或構造出由半徑、邊長的一半、邊心距組成的直角三角形，然後利用勾股定理求解．
四．正多邊形與圓
3．正多邊形：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．
4．正多邊形與圓的關係
（1）圓的內接正n邊形：把一個圓n（n≥3）等分，順次連線各等分點所得的正n邊形叫做圓的內接正n邊形，這個圓叫做正n邊形的外接圓；
（2）正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心；
（3）正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑；
（4）正多邊形的中心角：正多邊形的每一邊所對外接圓的圓心角；
（5）正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到邊的距離．
5．正多邊形與圓的相關計算
典型問題
例1．（2022遵義）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交於點O，過點O的直線EF交AB於點E（E不與A，B重合），交CD於點F．以點O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF於點M，N．若AB＝1，則圖中陰影部分的面積為（）
【分析】
圖中陰影部分的面積等於扇形DOC的面積減去△DOC的面積．
【解答】
：以OD為半徑作弧DN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，∴S
扇形BOM
＝S
扇形DON
，
【分析】
將陰影部分的面積轉換為扇形BOD的面積，利用扇形面積的計算方法進行計算即可．
【解答】
：如圖，連線AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，
【方法點撥】牢記圓的有關計算公式，並靈活處理好公式之間的轉換，當出現求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等面積變換轉化為規則圖形，再利用規則圖形的面積公式進行求解．
【分析】
首先根據圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數，進而利用銳角三角函式關係得出BC，AC的長，利用S
△ABC
﹣S
扇形BOE
＝圖中陰影部分的面積求出即可．
【解答】
：連線BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD。
變式．（2022興慶區校級二模）如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，過點D作DC⊥BE於點C，則陰影部分的面積是（）
【分析】
連線OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，
∵AB＝8，∠AOB＝60°，∴⊙O的半徑為8，∠AOE＝120°，
∵AD∥OB，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，
【方法點撥】運用平行線性質或其他幾何圖形性質把不規則圖形面積轉化為與它等面積的規則圖形來進行計算。
例4。如圖，兩個半圓中，小圓的圓心O‘在大⊙O的直徑CD上，長為4的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那麼圓中陰影部分面積等於
．
【分析】
把小半圓向右平移，使兩個圓心重合時，小半圓的面積不變，因而陰影部分的面積未變；連線OB，作OP⊥AB於P，因而陰影部分的面積是大半圓的面積減去小半圓的面積，計算即可求解．
【解答】
：連線OB，作OP⊥AB於P．
【方法點撥】一些圖形看似不規則，將某一個圖形進行平移變換後，利用平移的性質，把不規則的圖形的面積轉化為規則圖形的面積來計算．
例5．（2020秋九龍坡區期中）如圖，矩形ABCD中，BC＝8，CD＝4，以AD為直徑的半圓O與BC相切於點E，連線BD，則陰影部分的面積為
．（結果保留π）
【分析】
連線OE交BD於F，證明△ODF≌△EBF，進而得到S
△ODF
＝S
△EBF
，根據扇形面積公式計算，得到答案．
【解答】
：連線OE交BD於F，
∵以AD為直徑的半圓O與BC相切於點E，∴OE⊥BC，
∵四邊形ABCD為矩形，OA＝OD＝4，CD＝4，
∴四邊形ODCE和四邊形ABEO都是正方形，
∴BE＝4，∠DOE＝∠BEO＝90°，
【方法點撥】一些圖形看似不規則，把某個圖形進行旋轉變換後，利用旋轉的性質，把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積，再進行計算．
變式1．（2022銅仁市中考題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）
A．9 B．6
C．3 D．12
【分析】
設AC與半圓交於點E，半圓的圓心為O，連線BE，OE，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，
∴弓形BE的面積＝弓形CE的面積，
變式2。如圖，陰影部分是一個新設計的徽章圖案．圖中正方形ABCD中，AD＝2a，以點D為圓心，AD為半徑作圓，與AD的延長線相交於點E，連線BE．則這個徽章圖案（陰影部分）的面積等於
．（結果保留π）
【分析】
此題需要看懂圖形，由於反比例函式圖象的中心對稱性，所要求的陰影部分的面積即為半圓的面積．根據圖形，知這是一箇中心對稱圖形；則陰影部分是面積和相當於半圓的面積，即2π．
變式3．（2021秋沙坪壩區校級期中）如圖，在正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，BC為半徑畫弧，分別交對角線BD於點E、F，連線AE、CF．若AB＝2，則圖中陰影部分的面積為
．（結果保留π）
【方法點撥】
一些圖形看似不規則，利用軸對稱和中心對稱的性質，把不規則圖形進行軸對稱和中心對稱變換，轉化為規則圖形的面積，再進行計算．
例7．閱讀下面內容：“如圖1，以三角形ABC三個頂點為圓心，以1為半徑的三個（兩兩不相交）與三角形相交，則圖中陰影部分的面積之和是多少？”
當已知條件不能或不足以直接求解時，可整體思考，化單一、分散為整體，把所求的未知量整體轉換為已知量，再將問題整體化求解．
閱讀下面內容：“如圖1，以三角形ABC三個頂點為圓心，以1為半徑的三個圓（兩兩不相交）與三角形相交，則圖中陰影部分的面積之和是多少？
【方法點撥】
當已知條件不能或不足以直接求解時，可整體思考，化單一、分散為整體，把所求的未知量整體轉換為已知量，再將問題整體化求解．
例8。如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，分別以A、B、C、D為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，弧的交點設為E，F，G，H，則圖中陰影部分的面積是
．
有些圖形的區域性可以看成某個規則圖形，或某些圖形具有等面積的性質，這時可以把它們的關係用方程（ 組） 來表示，再解方程（ 組） ，求出圖形的面積．
【分析】如圖所示，設圖中各部分面積分別為x，y，z，由題意可知圖中三角形為等邊三角形，利用扇形的面積，三角形面積公式，正方形面積公式可得關於x，y，z的方程組，解得z即為所求陰影部分的面積．
【解答】：如圖所示，設圖中各部分面積分別為x，y，z，
【方法點撥】
有些圖形的區域性可以看成某個規則圖形，或某些圖形具有等面積的性質，這時可以把它們的關係用方程（ 組） 來表示，再解方程（ 組） ，求出圖形的面積．
例9。如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a≥3）的正方形內任意移動，則在該正方形內，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（）
解析： 根據題目條件“圓形紙片在正方形內任意移動”，可將圓形紙片放置在某個特殊位置，再求解．“不可接觸到的部分”的面積，即為圓形紙片與正方形的相鄰兩邊都相切時的特殊位置，即求兩切點與正方形的一個頂點形成的曲三角形面積．
變式1。如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a＞2）的正五邊形內任意移動，如果這張圓形紙片在正五邊形內不能接觸到的部分用陰影表示，則下列示意圖中表示正確的是（）
【分析】
如圖，當圓與正五邊形兩邊都相切時，正五邊形的角部分這張圓形紙片不能接觸到，
∵半徑為1的圖形紙片在邊長為a（a＞2）的正五邊形內任意移動，
∴在正五邊形的邊上，大部分能接觸到．故選：D．
變式2．（2021鉅野縣一模）如圖，一個半徑為r（r＜1）的圓形紙片在邊長為10的正六邊形內任意運動，則在該六邊形內，這個圓形紙片不能接觸到的部分的面積是（）
【方法點撥】
根據題目條件，對一些不規則陰影問題採取運動變換，將圖形放置於特殊位置，並不影響所求問題的結果，這時可採用特殊位置時情形求得不規則陰影部分的面積。
