即將參加

高考

的

物理

寶寶

們，還有

高一

的

物理寶寶

們，是否對於

高中物理

中的

流體

，用

動量定理、微元柱狀模型

來

建模

、解決問題，還有印象呢？要是沒有，就趕緊

珍藏

#37度物理#

今天帶來的下面這道典例吧！

水柱

【典例】

（2016·全國卷Ⅰ）某遊樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中．為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大於S）；水柱衝擊到玩具底板後，在豎直方向水的速度變為零，在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

（1）噴泉單位時間內噴出的水的質量；

（2）玩具在空中懸停時，其底面相對於噴口的高度。

懸停

【分析】

（1）連續流動的水流對玩具的平均衝擊力F與玩具的重力Mg平衡．

（2）若水流衝擊玩具的速度為v，考慮以很短時間Δt內衝擊玩具的水流Δm為研究物件，它在重力和玩具對它的反作用力F′作用下在Δt時間內動量減為零，利用動量定理可列出F′、v、Δm的關係，從而利用F′＝F＝Mg求出速度v，再求速度v對應的高度．

【解答過程】

（1）設Δt時間內，從噴口噴出的水的體積為ΔV，質量為Δm，則

1

2

由①②式得，單位時間內從噴口噴出的水的質量為

3

（2）設玩具懸停時其底面相對於噴口的高度為h，水從噴口噴出後到達玩具底面時的速度大小為v。對於Δt時間內噴出的水，由能量守恆得

4

在h高度處，Δt時間內噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為

設水對玩具的作用力的大小為F，根據動量定理有

5

由於玩具在空中懸停，由力的平衡條件得

6

聯立③④⑤⑥⑦式得

7

【總結】

應用動量定理求解流體衝擊力，關鍵是建立“柱體微元”模型，具體思路是

（1）在極短的時間Δt內，取一小柱體為研究物件．

（2）求小柱體的體積ΔV＝v·Δt·S

（3）求小柱體質量Δm＝ρ·ΔV＝ρ·v·S·Δt。

（4）求小柱體的動量變化Δp＝v·Δm＝ρ·v·S·Δt。

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