相交的平行線
在數學的
幾何
學習中，我們應該都明白一個
公理
。
同一平面內，過已知直線外一點且只有一條直線與已知直線平行。
則任意兩點都是平行的，任意一點與任意平面都是平行的。
這是
希爾伯特
在
《幾何基礎》
中，關於
歐幾里得幾何
中的平行公理的進一步闡述。
而在歐幾里得幾何中，關於平行公設則有著更多思考和疑問，至少在100多年前，人們仍然非常遵循這套
幾何邏輯
。
但是在
19世紀初
，
俄羅斯數學家
洛巴切夫斯基
卻提出了一個大
膽的理論
：
平行線，或者說在歐幾里得的第五公設中，這種平行直線太過於苛刻。
作為數學的替代方案，
他認為在透過不在給定直線上的點的平面上，有不止一條直線與給定直線在同一平面上且不相交。
另外在他進一步的論述中，
平行線是可以相交的
。
當時不少數學界的數學家被洛巴切夫斯基的這一理論給驚呆了。
這小子年紀輕輕到底懂不懂數學？怕不是連最基本的
幾何定理
都沒搞清楚就來大放厥詞了？
相信螢幕面前不少讀者在未接觸非歐幾何前，一定也是和這些數學家有著同樣的
疑問和諷刺
。
先別急著這麼快否定，一起來看看
俄羅斯的數學奇才
究竟是怎麼想的。
洛巴切夫斯基
的童年記錄幾乎沒有，只有關於他父親的潦草介紹。
但在他生命最初的那些年裡，洛巴切夫斯基被父母送進體育大學學習，並在
1806年從體育館畢業
。
從體育館畢業的他繼續深造學習，此時的他幾乎沒怎麼學過數學，或者說可以學習與數學相關的課程很少。
但是到了
1808年
，
情況就發生了變化
。
馬丁·巴特爾斯
，一位優秀的
德國數學家
，他受當時喀山教育區的邀請來到俄國教書。
同時，他也是
數學天才
高斯
的好友
。
沒錯，就是那個一人搞定多個數學難題，並且整出讓無數人痛苦的“高斯代數”那哥們兒。
被打斷的研究
本來一向對數學不太感興趣的洛巴切夫斯基很快被馬丁的教學方式吸引。
當時他的興趣主要在化學和藥理學，在巴特爾斯的影響下開始
對物理和數學感興趣
。
俗話說興趣是最好的老師，更何況還有馬丁這樣優秀的教師。
1811年
，洛巴切夫斯基以
碩士學位畢業
，並在物理和數學方面取得優異的成績。
或許是有天賦加持，短短數年的蛻變讓他成為極具潛力的數學選手。
從學校畢業後的洛巴切夫斯基開始
專注於數學研究
，但是
德國教師隊
伍由於受到喀山地區教育委員會的排擠，最終不得不
退出俄羅斯
。
因此喀山區的高等教育很快面臨著人才不足的問題，
1820年
，洛巴切夫斯基經過推選成為學校的物理數學院院長。
此後幾十年的時間裡，洛巴切夫斯基
潛心教學
，並且在數學方面取得了不俗的成就。
尤其是他關於
非歐幾何
和
洛巴切夫斯基幾何
的設想，以及相關推理，影響了後來數學的發展。
不過這在當時沒有受到人們的重視，反而還遭受各種嘲笑。
從1817年開始
，洛巴切夫斯基就在思考
歐幾里得的第五公設
。
後來幾年裡，洛巴切夫斯基在自己的筆記以及各種手札中都有詳細的推論和記錄。
不過當時他並不認為這些工作會得到認可，因此相關理論也只有他自己知道。
在他看來，
歐幾里得關於幾何
的論述實際上是有問題的。
自己關於
新幾何中
的推論
不包括歐幾里得幾何
，但是歐幾里得幾何可以透過極限情況下得到。
洛巴切夫斯基
放棄了歐幾里得關於平行的假設
。
相反在他的構建下，
一條直線和一個不在該直線上的點形成的平面中，可以透過該點畫出無限多條平行於原始線條的直線
。
將此假設與歐幾里得前四條共設結合，並展開推理。
最終得到的結果是，
第五公設不能被證明。
所有非平面的假設都是不正確的
，至少歐幾里得幾何只能在他的平面幾何中自洽。
這便是後來關於
雙曲幾何
的推論，也是
洛巴切夫斯基幾何
中的一部分。
雙曲幾何中
，
至少有兩條不相交的直線，且都透過P點，並不與R相交
。
此外，雙曲幾何對其本身而言並無矛盾之處，在雙曲幾何的環境裡，平面的曲率為負數。
透過歐幾里得幾何仍然可以推匯出屬於它本身的定理。
換句話講，平行公設無法由前四條共設推導，平行公設獨立於前四條共設。
不可能有平行定理，只有平行公設，這是洛巴切夫斯基關於歐幾里得幾何的定論。
當他在1832年將自己的作品
《幾何原理》
交給科學院時，當時俄國不少數學家都開始諷刺他幾乎什麼都不懂。
證明需要時間
說到這裡不要覺得不可思議，一套系統理論在得到完全證明和認可之前很難讓人接受。
因為很大程度上會推翻現有的
科學體系
，或者影響整個科學發展。
就像愛因斯坦的相對論在剛發表的時候，不少科學家都堅定牛頓的絕對靜止時空是沒問題的。
儘管
遭受了不少嘲笑
，但是洛巴切夫斯基對自己
充滿信心
。
他內心也很清楚，自己的這套理論大機率不會被當時主流的研究所認可。
不過作為一名數學家來講，他還是希望有人能夠理解他的想法。
於是洛巴切夫斯基開始把自己的想法
刊登在德國雜誌上
，並且還寫了一本關於幾何研究的小書，裡面都是關於他對非歐幾何的論述。
事實上不僅是洛巴切夫斯基，
同時期
內其實有很多數學家都開始注意到歐幾里得幾何中的問題。
包括
高斯
這樣的數學天才同樣如此。
但礙於當時的學術環境，高斯不敢發表自己關於歐幾里得幾何的看法，只能
私底下秘密研究。
但再怎麼說，當年的老師有恩於自己，因此有兩份副本後來送到了高斯那兒。
高斯在看了之後十分認同洛巴切夫斯基的想法，並且正面肯定了他的工作。
考慮到當時的科學界還不能接受這種激進的想法
，相比之下，高斯更加同情這位俄國數學家。
不過作為當時歐洲最頂尖的數學家，
高斯
在學術界有很高的地位和聲望。
為了
扶持洛巴切夫斯基
，高斯開始自學俄語，並在哥廷根皇家科學學會上推舉他為優秀數學家代表。
然而十分可惜的是，儘管高斯再怎麼努力，當時也沒有人理解。
並且在後來，
洛巴切夫斯基
的家境一落千丈，兒子生病死亡，自己也陷入失明，並且身體一天不如一天。
只能透過口述來讓人記錄他的想法，
1844年後
，也就是
在他作品發表後的12年，這位數學奇才
鬱鬱而終
。
然而在這之後，人們才逐漸注意到這套理論，很快科學界的情況發生了變化。
洛巴切夫斯基的理論得到了認可。
到了
1868
時，歐洲數學家建立了
投影模型、偽球等數學模型
，
最終才證實了洛巴切夫斯基幾何
。
如今我們在生活中有許多地方都能看見這位數學家所想證明的例子。
例如有
雙曲平面設計
的鉤編衣物或者氈帽，
雙曲幾何的球面投射模型
等等。
進一步的幾何推導在
黎曼幾何
、
非歐幾何
中得到闡述。
或許正如生活一般，大膽的假設總是令人感到畏懼和膽怯，但正是這種突破精神才讓我們繼續前行。
人生的曲線處在生活這個平面裡，看似兩者毫無聯絡，但總有一天它們會相交於一點從而改變一切。